program
/ \
binary block
/ \
dec \
/ \ \
integer /\ |
n p |
|
+-----+---------+-----------+-----------------+
| | | | |
read assign while assign while
| / \ / \ / \ / \
n p 2 <= assign p div > \
/ \ / \ / \ / \ /\
p n p * p 2 p 0 / \
/ \ / \
2 p ifelse assign
/ | \ / \
>= | write p div
/ \ | | / \
n p | 0 p 2
/ \
/ \
write assign
| / \
1 n -
/ \
n p
a. (λx. (x (λy. (y x)))) b. (((λx. x) (λy. y)) (λx. ((x (λy. y)) z))) c. (((λf. (λy. (λz. (((f z) y) z)))) p) x) d. (λx. (x (λy. (y (λz. (z (λw. (((w z) y) x))))))))
a. λx. x y λz. x z
↑
b. (λx. x y) λz. w λw. w z y x
↑ ↑ ↑ ↑
c. x λz. x λw. w z y
↑ ↑ ↑
d. λx. x y λx. y x
↑ ↑
a. (f (λx. x y) λz. g y z) b. (λx. λy. f x y) c. ((λy. g x y) λf. f x) d. (λg. λz. g (f y) z)
a. (λf. f add (f mul (f add 5))) (λg. λx. g x x)
=> (λg. λx. g x x) add ((λg. λx. g x x) mul ((λg. λx. g x x) add 5))
=> (λx. add x x) ((λg. λx. g x x) mul ((λg. λx. g x x) add 5))
=> (λx. add x x) ((λx. mul x x) ((λg. λx. g x x) add 5))
=> (λx. add x x) ((λx. mul x x) ((λx. add x x) 5))
=> (λx. add x x) ((λx. mul x x) (add 5 5))
=> (λx. add x x) ((λx. mul x x) 10)
=> (λx. add x x) (mul 10 10)
=> (λx. add x x) 100
=> add 100 100
=> 200
b. (λx. λf. f (f x)) ((λy. (add y 2)) ((λz. (sqr z)) ((λy. (succ y)) 1))) sqr
=> (λx. λf. f (f x)) ((λy. (add y 2)) ((λz. (sqr z)) (succ 1))) sqr
=> (λx. λf. f (f x)) ((λy. (add y 2)) ((λz. (sqr z)) 2)) sqr
=> (λx. λf. f (f x)) ((λy. (add y 2)) (sqr 2)) sqr
=> (λx. λf. f (f x)) ((λy. (add y 2)) 4) sqr
=> (λx. λf. f (f x)) (add 4 2) sqr
=> (λx. λf. f (f x)) 6 sqr
=> (λf. f (f 6)) sqr
=> sqr (sqr 6)
=> sqr 36
=> 1296
let x = 5 in let y = (add x 3) in (mul x y) => (λx. (λy. mul x y) (add x 3)) 5 => (λy. mul 5 y) (add 5 3) => (λy. mul 5 y) 8 => mul 5 8 => 40
Rewriting the let to a where:
(mul x y) where (y = add x 3) where x = 5
{x: 17, y:25}
⟦x⟧,s → 17,s ⟦y⟧,s → 25,s
───────────────────────────
⟦x+y⟧,s → 42,s ⟦6⟧,s → 6,s
──────────────────────────────────────
⟦(x+y)+6⟧,s → 48,s
be,s → be′,s
─────────────────────────────────────────────────────────
⟦if be then ie₁ else ie₂⟧,s → ⟦if be′ then ie₁ else ie₂⟧,s
─────────────────────────────────────
⟦if true then ie₁ else ie₂⟧,s → ie₁,s
──────────────────────────────────────
⟦if false then ie₁ else ie₂⟧,s → ie₂,s
Even though you were required to use SOS, you may be interested in the Natural Semantics way. This works:
be,s ⇒ F ie₂,s ⇒ x
───────────────────────────────
⟦if be then ie₁ else ie₂⟧,s ⇒ x
be,s ⇒ T ie₁,s ⇒ x
───────────────────────────────
⟦if be then ie₁ else ie₂⟧,s ⇒ x
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────── ⟦repeat c until be⟧,i,o,s → ⟦c; if be then skip else repeat c until be⟧,i,o,s ─────────────────────────────────────────────────────────── ⟦swap id₁, id₂⟧,i,o,s → ⟦skip⟧,i,o,s[s(id₂)/id₁][s(id₁)/id₂]
Note that with SOS we use that “expansion” trick, rewriting the code to a larger construct. If using Natural Semantics, we don’t do that! We compute all the down to a value or a new state:
c,i,o,s ⇒ i′,o′,s′ be,s′ ⇒ T
────────────────────────────────────
⟦repeat c until be⟧,i,o,s ⇒ i′,o′,s′
c,i,o,s ⇒ i′,o′,s′ be,s′ ⇒ F ⟦repeat c until be⟧,i′,o′,s′ ⇒ i″,o″,s″
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⟦repeat c until be⟧,i,o,s ⇒ i″,o″,s″
────────────────────────────────────────────────────
⟦swap id₁, id₂⟧,i,o,s ⇒ i,o,s[s(id₂)/id₁][s(id₁)/id₂]
ie₁,s → ie₁′,s
─────────────────────────────────────────────────────────────────────
⟦for id := ie₁ to ie₂ do c⟧,i,o,s → ⟦for id := ie₁′ to ie₂ do c⟧,i,o,s
ie₂,s → ie₂′,s
─────────────────────────────────────────────────────────────────
⟦for id := n to ie₂ do c⟧,i,o,s → ⟦for id := n to ie₂′ do c⟧,i,o,s
n1 > n2
─────────────────────────────────────────────
⟦for id := n1 to n2 do c⟧,i,o,s → ⟦skip⟧,i,o,s
n1 <= n2
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
⟦for id := n1 to n2 do c⟧,i,o,s → ⟦c; for id := (n1+1) to n2 do c⟧,i,o,s[n1/id]
If using Natural Semantics:
ie₁,s ⇒ x ie₂,s ⇒ y x > y
─────────────────────────────────────────
⟦for id := ie₁ to ie₂ do c⟧,i,o,s ⇒ i,o,s
ie₁,s ⇒ x ie₂,s ⇒ y x >= y
(c[j/id],ij,oj,sj ⇒ ij+1,oj+1,sj+1)y
j=x
───────────────────────────────────────────────────
⟦for id := ie₁ to ie₂ do c⟧,ix,ox,sx ⇒ iy+1,oy+1,sy+1