Iterated Function Systems

Many fractals can be described with iterated function systems, or IFSs.

What is an IFS?

An iterated function system is a finite set of mappings on a complete metric space. Or perhaps more understandably, a set of transforms that make things smaller. In practice affine transforms are best. If you start with an arbitrary point, and repeatedly iterate transforms selected at random, you can generate a fractal.

Examples

By convention an IFS is written in rows of numbers in the form

    a    b    c    d    e    f    p

which describes the transform λ(x,y).(ax+by+e,cx+dy+f). The value p represents the percentage of the fractal's area generated by the transform. Theoretically it is not required but if you select it well, the fractal is drawn much more efficiently.

Here are some classics to try:

The Barnsley Fern

     0.00   0.00   0.00  0.16  0.0  0.00   0.01
     0.85   0.04  -0.04  0.85  0.0  1.60   0.85
     0.20  -0.26   0.23  0.22  0.0  1.60   0.07
    -0.15   0.28   0.26  0.24  0.0  0.44   0.07

The von Koch Curve

    0.3333   0.0000   0.0000   0.3333   0.0000  0.0000   0.25
    0.1667  -0.2887   0.2887   0.1667   0.3333  0.0000   0.25
    0.1667   0.2887  -0.2887   0.1667   0.5000  0.2887   0.25
    0.3333   0.0000   0.0000   0.3333   0.6667  0.0000   0.25

0.0 0.10 0.0 0.40 -0.002 0.0 0.08 0.7 0.135 -0.235 0.7 -0.2 0.01 0.45 0.121328 -0.120 0.230 0.32318 0.01 0.01 0.25 0.121328 0.34330 0.240 0.218 0.0 0.01 0.22

0.5 0.0 0.0 0.5 -4.5 0.002 0.33 0.5 0.0 0.0 0.5 4.6 0.002 0.33 0.32139 0.38302 -0.38302 0.32139 1.09 9.5 0.33

0.0 -0.5 0.85 0.0 -1.732366 3.366182 0.333333 0.3 0.0 0.0 0.3 -0.027891 5.014877 0.333333 0.0 0.5 -0.85 0.0 1.620804 3.310401 0.333334

0.5 0 0 0.5 0 0 0.25 0.5 0.5 0 0.5 0.5 0 0.25 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0.25 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5 0.25

0.156100 -0.878342 -0.820365 -0.202815 1.809888 7.967409 0.888128 -0.036111 0.444444 0.210185 0.037037 2.071081 8.330552 0.111872

0.5 0.5 -0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 0.5

0.333333 0.0 0.0 0.333333 0.000000 0.0 0.5 0.333333 0.0 0.0 0.333333 0.666667 0.0 0.5

0.5 0.0 0.0 0.5 0 0 0.25 0.5 0.0 0.0 0.5 3 0 0.25 0.4 0.0 0.0 0.4 0 2 0.25 0.5 0.0 0.0 0.5 3 2 0.25

0.33333 0.33333 -0.33333 0.33333 0.00000 0.00000 .33 0.47140 0.00000 0.00000 0.47140 0.33333 -0.33333 .34 0.47140 0.00000 0.00000 0.47140 0.66667 0.00000 .33

0.3570 0.0000 0.0000 0.3570 -0.0050 -0.0060 0.100 0.3100 -0.1129 0.1129 0.3100 0.0500 0.0050 0.100 0.4350 0.0152 -0.0152 0.4350 -0.0300 0.0358 0.100 0.1680 -0.2857 0.2857 0.1680 -0.0400 0.0180 0.100 0.2514 0.2514 -0.2514 0.2514 0.0340 0.0610 0.100 0.3457 0.1995 -0.1995 0.3457 -0.0090 0.0790 0.100 0.2765 -0.2765 0.2765 0.2765 -0.0400 0.0900 0.200 0.1465 -0.3000 0.3000 0.1465 -0.0650 0.0490 0.100 0.3453 0.0121 -0.0121 0.3453 0.0250 0.0308 0.100

0.25000 0.00000 0.00000 0.25000 0.00000 0.00000 .17 0.25000 -0.25000 0.25000 0.25000 0.25000 0.00000 .17 0.50000 0.50000 -0.50000 0.50000 0.50000 0.25000 .16 0.50000 0.50000 -0.50000 0.50000 0.25000 0.00000 .16 0.25000 -0.25000 0.25000 0.25000 0.50000 -0.25000 .17 0.25000 0.00000 0.00000 0.25000 0.75000 0.00000 .17

-0.16666667 -0.1666667 0.16666667 -0.1666667 0.0000000 0.000000 0.163 0.83333333 0.2500000 -0.25000000 0.8333333 -0.1666667 -0.166667 0.600 0.33333333 -0.0833333 0.08333333 0.3333333 0.0833333 0.666667 0.237

0.307692 -0.531469 -0.461538 -0.293706 5.401953 8.655175 0.40 0.307692 -0.076923 0.153846 -0.447552 -1.295248 4.152990 0.15 0.000000 0.545455 0.692308 -0.195804 -4.893637 7.269794 0.45

0.35355 0.35355 -0.35355 0.35355 -4.4 0.002 0.33 0.383 0.383 -0.32135 0.32135 4.8 0.002 0.33 0.32139 0.38302 -0.38302 0.32139 1.9 7.5 0.33

0.25 -0.25 0.25 0.25 0.0000 0.0 0.25 0.50 0.50 -0.50 0.5 0.25 0.25 0.50 0.25 -0.25 0.25 0.25 0.75 0.25 0.25

0.396 0.3111 -0.396 0.3111 3.7128 2.6788 0.31 -0.2507 -0.4673 0.2988 -0.3921 -3.2041 3.2104 0.32 0.6435 -0.2240 0.3 0.4803 2.8256 2.8282 0.37

0.4578 -0.491 0.61 0.911 1.479 0.692 0.9175 0.56 0.3 -0.5 0.9 0.64 0.5 0.5

0.696970 -0.481061 -0.393939 -0.662879 2.147003 10.310288 0.747826 0.090909 -0.443182 0.515152 -0.094697 4.286558 2.925762 0.252174

.255 0 0 .255 .3726 .6714 .2 .255 0 0 .255 .1146 .2232 .15 .255 0 0 .255 .6306 .2232 .15 .370 -.642 .642 .370 .6356 -.0061 .75

0 -.5 .5 0 .5 0 .333 0 .5 -.5 0 .5 .5 .333 .5 0 0 .5 .25 .5 .333

0.1767 -0.7071 0.7071 0.1767 0.0000 0.0000 0.25 -0.1767 0.7071 -0.7071 -0.1767 0.0000 0.0000 0.25 0.2500 0.0000 0.0000 0.2500 0.5000 0.0000 0.25 0.2500 0.0000 0.0000 0.2500 0.7500 0.0000 0.25

0.1767 -0.7071 0.7071 0.1767 0.0000 0.0000 0.25 -0.1767 0.7071 -0.7071 -0.1767 0.0000 0.0000 0.25 0.5000 0.0000 0.0000 0.5000 0.5000 0.0000 0.50

.693 .400 -.400 .693 0 0 .85 .346 -.200 .200 .346 .693 .400 .15

0.333333 0 0 0.5 0 0 0.166667 0.333333 0 0 0.5 0.333333 0 0.166667 0.333333 0 0 0.5 0.666667 0 0.166667 0.333333 0 0 0.5 0.666667 0.5 0.166667 -0.333333 0 0 -0.5 1 0.5 0.166667 -0.333333 0 0 -0.5 0.666667 0.5 0.166667

0.8517 -0.3736 0.3736 0.7517 0.0000 0.000 0.7 0.3000 0.1000 -0.1000 0.2000 1.0000 -0.364 0.1 0.3000 0.1000 -0.1000 0.2000 -0.3640 1.000 0.1 0.3000 0.1000 -0.0000 0.2000 -0.7280 -0.728 0.1

0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0.5 -0.5 0.5 -0.5 -0.5 1 0 0.5

0.824074 0.281482 -0.212346 0.864198 -1.882290 -0.110607 0.787473 0.088272 0.520988 -0.463889 -0.377778 0.785360 8.095795 0.212527

0.824074 0.581482 -0.212346 0.864198 1.882290 0.110607 0.787473 0.088272 0.420988 -0.463889 -0.377778 0.785360 8.095795 0.212528

0.25 -0.433 0.433 0.25 0 0 0.25 0.25 -0.433 0.433 0.25 0.25 0 0.25 0.25 -0.433 0.433 0.25 0.5 0 0.25 0.25 -0.433 0.433 0.25 0.75 0 0.25

0.00 0.00 0.00 0.16 0.0 0.00 0.01 0.85 0.04 -0.04 0.85 0.0 1.60 0.85 0.20 -0.26 0.23 0.22 0.0 1.60 0.07 -0.15 0.28 0.26 0.24 0.0 0.44 0.07

0.0 0.0 0.0 0.22 0.0 0.0 0.01 0.8 0.135 -0.235 0.8 0.0 1.4 0.49 0.15 -0.120 0.130 0.12 0.0 1.0 0.25 0.15 0.200 0.340 0.12 0.0 0.5 0.25

-0.632407 -0.3 -0.545370 0.659259 .53 4.282321 0.55 -0.036111 0.444444 0.210185 0.037037 .52 4.330552 0.45

0.0 -0.5 0.5 0.0 .25 -.25 0.333333 0.5 0.0 0.0 0.5 .25 .25 0.333333 0.0 0.5 -0.5 0.0 .75 .25 0.333334

0.5 0.0 0.0 0.5 -2.563477 -0.000003 0.333333 0.5 0.0 0.0 0.5 2.436544 -0.000003 0.333333 0.0 -0.5 0.5 0.0 4.873085 7.563492 0.333333

.333 0 0 .333 .333 .666 .2 0 .333 1 0 .666 0 .4 0 -.333 1 0 .333 0 .4

0.2 -0.5 0.5 -0.5 .9 .5 0.5 0.8 0.5 -0.5 0.5 .9 .5 0.5

-0.632407 -0.614815 -0.545370 0.659259 3.840822 1.282321 0.888128 -0.036111 0.444444 0.210185 0.037037 2.071081 8.330552 0.111872

0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.0000000 0.0000000 0.2 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.8333333 0.0000000 0.2 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.0000000 0.8333333 0.2 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.4166667 0.4166667 0.2 0.1666667 0.0 0.0 0.1666667 0.8333333 0.8333333 0.2

0 .577 -.577 0 .0951 .5893 .333 0 .577 -.577 0 .4413 .7893 .333 0 .577 -.577 0 .0952 .9893 .333

0.33333 -0.88888 0.6 -0.4 9 -1 0.5 -0.7777 0.22222 0.1 0.5 -1 15 0.5

0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.0000 0.0000 0.25 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.3333 0.0000 0.25 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.5000 0.2887 0.25 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.6667 0.0000 0.25

0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.0000 0.0000 0.2 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.6667 0.0000 0.2 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.3333 0.3333 0.2 0.0000 -0.3333 0.3333 0.0000 0.3333 0.0000 0.2 0.0000 0.3333 -0.3333 0.0000 0.6667 0.3333 0.2

0.307692 -0.000000 0.000000 0.294118 4.119164 1.604278 0.151515 0.192308 -0.205882 0.653846 0.088235 -0.688840 5.978916 0.253788 0.192308 0.205882 -0.653846 0.088235 0.668580 5.962514 0.253788 0.307692 -0.000000 0.000000 0.294118 -4.136530 1.604278 0.151515 0.384615 -0.000000 0.000000 -0.294118 -0.007718 2.941176 0.189394

0.555 0.000 0.000 0.555 0.000 0.000 0.20 0.550 0.000 0.000 0.550 0.000 0.185 0.30 0.353 0.281 -0.295 0.336 0.068 0.112 0.25 0.353 -0.281 0.295 0.336 -0.068 0.112 0.25

0.40 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.20 0.55 0.00 0.00 0.55 0.00 0.20 0.30 0.31 0.31 -0.31 0.31 0.10 0.10 0.25 0.31 -0.31 0.31 0.31 -0.10 0.10 0.25

0.3333 0.0 0.0 0.3333 0.0 0.0 0.1667 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.3333 0.0 0.1667 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.0833 0.0 0.1667 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.3333 0.0 0.1667 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.0833 0.0 0.1667 0.3333 0.0 0.0 0.3333 0.6667 0.0 0.1667

0.25 -0.25 0.25 0.25 0 0 0.25 0.25 0.25 -0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 -0.25 0.25 0.25 0.5 0 0.25 0.25 0.25 -0.25 0.25 0.75 0.25 0.25

0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.000000 0.125 0.333333 0 0 0.333333 0.333333 0.000000 0.125 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.000000 0.125 0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.333333 0.125 0.333333 0 0 0.333333 0.000000 0.666667 0.125 0.333333 0 0 0.333333 0.333333 0.666667 0.125 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.333333 0.125 0.333333 0 0 0.333333 0.666667 0.666667 0.125

0.25 0.00 0.00 0.25 0.00 0.00 0.125 0.00 -0.25 0.25 0.00 0.25 0.00 0.125 0.25 0.00 0.00 0.25 0.25 0.25 0.125 0.00 0.25 -0.25 0.00 0.50 0.25 0.125 0.00 0.25 -0.25 0.00 0.50 0.00 0.125 0.25 0.00 0.00 0.25 0.50 -0.25 0.125 0.00 -0.25 0.25 0.00 0.75 -0.25 0.125 0.25 0.00 0.00 0.25 0.75 0.00 0.125

0.3 0.2 -0.8 0.5 0.008 0.5 0.45 0.50 0.23 -0.56 0.9 0.002 0.5 0.45

.382 0 0 .382 .3072 .6190 .2 .382 0 0 .382 .6033 .4044 .2 .382 0 0 .382 .0139 .4044 .2 .382 0 0 .382 .1253 .0595 .2 .382 0 0 .382 .4920 .0595 .2

0.307692 -0.531469 -0.461538 -0.293706 -5.401953 8.655175 0.40 0.307692 -0.076923 0.153846 -0.447552 -1.295248 -4.152990 0.15 0.000000 0.545455 0.692308 -0.195804 4.893637 7.269794 0.45

0.2 0 0 0.3 0.2 0.4 .13 -0.1414 .21213 0.1414 0.21213 -0.3535 -0.3535 .13 0.383 0.3213 -0.3213 0.383 0 0 .30 0.1928 0.2298 -0.2298 0.1928 0.5823 -0.32067 .13 -0.7 0.0 0.0 -0.4 -0.1 -0.8 .31

0.177 -0.177 0.177 0.177 0.00 0.00 0.1 0.354 -0.354 0.354 0.354 0.50 0.00 0.4 0.177 -0.177 0.177 0.177 0.75 0.75 0.1 0.354 -0.354 0.354 0.354 0.00 0.50 0.4

0.35355 -0.35355 0.35355 0.35355 0.00000 0.00000 0.5 0.35355 -0.35355 0.35355 0.35355 0.50000 0.50000 0.5

0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.0000 0.0000 0.18 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.1667 -0.8660 0.19 0.1667 -0.2887 0.2887 0.1667 0.3333 0.0000 0.19 0.1667 0.2887 -0.2887 0.1667 0.5000 0.8660 0.19 0.3333 0.0000 0.0000 0.3333 0.6667 0.0000 0.25

0.2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0.0000 0.0000 0.25 0.5000 -0.5000 0.5000 0.5000 0.2500 0.2500 0.50 0.2500 0.2500 -0.2500 0.2500 0.7500 -0.2500 0.25

0.2500 -0.2500 0.2500 0.2500 0.0000 0.0000 0.25 0.5000 0.5000 -0.5000 0.5000 0.2500 0.2500 0.50 0.2500 -0.2500 0.2500 0.2500 0.7500 -0.2500 0.25

0.1 0.01 -0.0001 0.0005 0.0 0.0 0.01 0.85 0.0 0.0 0.85 0.0 1.20 0.85 0.2232 0.1285 0.045 0.2413 0.4432 0.50 0.07 0.1865 0.2563 0.012 0.0514 -0.50 0.24 0.07

0.5 0.0 0.0 0.5 0.0 0.0 .33 0.0 -0.5 0.5 0.0 0.5 0.0 .33 0.5 0.0 0.0 0.5 0.5 0.5 .34

0.50 0.10 0.5 0.40 -0.002 0.0 0.05 0.7 0.135 -0.235 0.7 -0.2 0.1 0.45 -0.5 -0.10 -0.5 -0.40 0.002 0.002 0.05

0.5 0 0 0.5 0.00 0.000 0.3333 0.5 0 0 0.5 0.50 0.000 0.3333 0.5 0 0 0.5 0.25 0.433 0.3334

.5 0 0 .5 0 0 .333333333333333 .5 0 0 .5 .5 0 .333333333333333 .5 0 0 -.5 0.125 1 .333333333333334

-0.5 0.000 0.000 0.50 0.5000 0.0000 0.25 -0.5 0.000 0.000 0.50 1.0000 0.0000 0.25 0.5 0.000 0.000 -0.50 0.1685 0.2919 0.25 -0.25 -0.433 0.433 -0.25 0.9171 0.1436 0.25

0.787879 -0.424242 0.242424 0.859848 1.758647 1.408065 0.895652 -0.121212 0.257576 0.090909 0.053030 -3.721654 1.377236 0.052174 0.252525 -0.136364 0.252525 0.181818 3.086107 1.568035 0.052174

0.7517 -0.2736 0.2736 0.7517 0.0000 0.000 0.7 0.2000 0.0000 0.0000 0.2000 1.0000 -0.364 0.1 0.2000 0.0000 0.0000 0.2000 -0.3640 1.000 0.1 0.2000 0.0000 0.0000 0.2000 -0.7280 -0.728 0.1

0.787879 -0.424242 0.242424 0.859848 1.758647 1.408065 0.895652 -0.121212 0.257576 0.151515 0.053030 -6.721654 1.377236 0.052174 0.181818 -0.136364 0.090909 0.181818 6.086107 1.568035 0.052174

0.745455 -0.459091 0.406061 0.887121 1.460279 0.691072 0.85 -0.424242 -0.065152 -0.175758 0.218182 3.809567 6.741476 0.15

.5 0 0 .5 0 0 .25 .5 0 0 .5 .5 0 .25 .5 0 0 .5 .5 .5 .25 .5 0 0 .5 0 .5 .25

0.005 0.000 0.000 0.500 0.0 0.0 0.12 0.414 -0.414 0.414 0.414 0.0 0.5 0.44 0.414 0.414 -0.414 0.414 0.0 0.5 0.44

0.745455 -0.459091 0.406061 0.887121 1.460279 0.691072 0.912675 -0.424242 -0.065152 -0.175758 -0.218182 3.809567 6.741476 0.087325

0.75 0.00 0.00 0.30 -0.20 0.00 0.23 0.75 0.00 0.00 0.30 0.20 0.00 0.23 0.50 0.00 0.00 0.80 0.00 0.20 0.54

0.195 -0.488 0.344 0.443 0.722 0.536 0.4 0.462 0.414 -0.252 0.361 0.538 1.167 0.4 -0.058 -0.070 0.453 -0.111 1.125 0.185 0.1 -0.045 0.091 -0.469 -0.022 0.863 0.871 0.1

.195 -.488 .344 .443 .4431 .2452 .2 .462 .414 -.252 .361 .2511 .5692 .25 -.058 -.070 .453 -.111 .5976 .0969 .2 -.035 .070 -.469 -.022 .4884 .5069 .25 -.637 0 0 .501 .8562 .2513 .1

0.000 0.000 0.000 0.600 0.00 -0.065 0.100 0.440 0.000 0.000 0.550 0.00 0.200 0.180 0.343 -0.248 0.199 0.429 -0.03 0.100 0.180 0.343 0.248 -0.199 0.429 0.03 0.100 0.180 0.280 -0.350 0.280 0.350 -0.05 0.000 0.180 0.280 0.350 -0.280 0.350 0.05 0.000 0.180

0.125 0.433013 -0.216506 0.25 0 0.666667 .35 0.125 -0.433013 0.216506 0.25 0 0.666667 .35 0 0 0 0.666667 0 0 .3

-0.467 0.02 -0.113 0.015 0.4 0.4 .2 0.387 .43 .43 -0.387 0.256 .522 .4 0.441 -0.091 -0.091 -0.322 0.421 .505 .4

0.125 0.433013 -0.216506 0.25 0 0.666667 .35 0.125 -0.433013 0.216506 0.25 0 0.666667 .35 0 0 0 0.666667 0 0 .3

0.442552 -0.841144 0.724386 0.538723 14.919102 9.328625 0.912675 -0.424242 -0.065152 -0.175758 -0.218182 3.809567 6.741476 0.087325

0.5 0.5 0.0 0.5 0 0 0.3333 0.5 0.0 0.0 0.5 3 0 0.3333 0.4 0.0 0.0 0.4 0 2 0.3334

0.475 -0.823 0.823 0.475 1.0 1.0 0.8 0.5 0.5 0.0 0.5 0.5 0.0 0.2

0.50 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 0.4 0.50 0.00 0.00 0.50 0.50 0.50 0.4 0.25 0.00 0.00 0.25 0.00 0.75 0.1 0.25 0.00 0.00 0.25 0.75 0.00 0.1

An IFS Renderer

Enter your IFS in the textarea below and hit or just pick one of these: